zurück
Strahlensatz Anwendungsaufgaben
Einem gleichschenkligen Dreieck sind ein gelber und ein blauer Kreis einbeschrieben.
Die Radien der Kreise betragen $r_1 = 3{,}5\,cm$ und $r_2 = 5\,cm$. Berechne die Länge der Strecke $\overline{ZM_1}$
Die Radien der Kreise betragen $r_1 = 3{,}5\,cm$ und $r_2 = 5\,cm$. Berechne die Länge der Strecke $\overline{ZM_1}$
geg.: $r_1 = 3{,}5\,cm, r_2=5\,cm$
ges.: $|\overline{ZM_1}|$
ges.: $|\overline{ZM_1}|$
Die gesuchte Länge $|\overline{ZM_1}|$ ist der kurze Teil des Strahl, der senkrecht durch das Dreieck geht.
Die Länge des langen Teil ist $|\overline{ZM_2}|$. Also vom Zentrum der Strahlen bis zum Schnittpunkt mit der langen Parallelen ($\overline{B_2M_2}$).
Die Länge des langen Teil ist $|\overline{ZM_2}|$. Also vom Zentrum der Strahlen bis zum Schnittpunkt mit der langen Parallelen ($\overline{B_2M_2}$).
Die Länge $|\overline{ZM_2}|$ können wir aufteilen in $|\overline{ZM_1}|+|\overline{M_1M_2}|$,
das heißt wir gehen von $Z$ zu $M_1$ und dann weiter zu $M_2$.
Das werden wir später verwenden um $|\overline{ZM_2}|$ zu ersetzen, so dass wir nur eine Unbekannte in unserer Gleichung haben.
Das werden wir später verwenden um $|\overline{ZM_2}|$ zu ersetzen, so dass wir nur eine Unbekannte in unserer Gleichung haben.
Also merken wir uns: $|\overline{ZM_2}| = |\overline{ZM_1}|+|\overline{M_1M_2}|$
Die Länge $|\overline{M_1M_2}|$ können wir mit den Radien der Kreise bestimmen:
$|\overline{M_1M_2}| = 3{,}5\,cm + 5\,cm = 8{,}5\,cm$
Jetzt lösen wir die Aufgabe über den Strahlensatz:
$\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{|\overline{ZM_2}|}{|\overline{ZM_1}|}$
Da hier zwei Unbekannte enthalten sind, ersetzen wir die unbekannte Länge $|\overline{ZM_2}|$ mit
dem Term $|\overline{ZM_1}|+|\overline{M_1M_2}|$ von oben und erhalten:
$\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{|\overline{ZM_1}|+|\overline{M_1M_2}|}{|\overline{ZM_1}|}$
Jetzt setzten wir alle bekannten Größen ($r_1, r_2, |\overline{M_1M_2}|$) ein:
$\dfrac{5\,cm}{3{,}5\,cm} = \dfrac{|\overline{ZM_1}|+8{,}5\,cm}{|\overline{ZM_1}|}$
Diese Gleichung können wir jetzt wie gewohnt mit Aquivalenzumformungen lösen:
$\begin{array}{rrcll}
&\dfrac{5\,cm}{3{,}5\,cm} &=& \dfrac{|\overline{ZM_1}|+8{,}5\,cm}{|\overline{ZM_1}|} &\ \\[4mm]
\Leftrightarrow
&\dfrac{5}{3{,}5} &=& \dfrac{|\overline{ZM_1}|+8{,}5\,cm}{|\overline{ZM_1}|} &\ |\;\text{über Kreuz multiplizieren}\\[4mm]
\Leftrightarrow
&5\cdot |\overline{ZM_1}| &=& 3{,}5\cdot\left(|\overline{ZM_1}|+8{,}5\,cm\right) &\ |\;\text{ausmultiplizieren}\\[2mm]
\Leftrightarrow
&5\cdot |\overline{ZM_1}| &=& 3{,}5\cdot|\overline{ZM_1}|+29{,}75\,cm &\ |\;-3{,}5\cdot|\overline{ZM_1}|\\[2mm]
\Leftrightarrow
&1{,}5\cdot |\overline{ZM_1}| &=& 29{,}75\,cm &\ |\;:(-1{,}5)\\[2mm]
\Leftrightarrow
&|\overline{ZM_1}| &=& 19{,}83\,cm &
\end{array}$