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Strahlensätze

Jeder Strahlensatz hat zwei parallele Strecken ${\color{green}{h}}\| {\color{red}{i}}$ und 2 Strahlen.

Es ergeben sich drei Verhältnisse:

Kurze parallele Strecke zu langer Strecke $\frac{\left|\overline{\color{red}A'B'}\right|}{\left|\overline{\color{green}AB}\right|}$
Erster Strahl: kurze Strecke zu langer Strecke $\frac{\left|\overline{\color{red}ZA'}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZA}\right|}$
Zweiter Strahl: kurze Strecke zu langer Strecke $\frac{\left|\overline{\color{red}ZB'}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZB}\right|}$

Diese Verhältnisse sind alle gleich und können zu den Strahlensätzen zusammengesetzt werden.

Ein Strahlensatz ist eine Gleichung, bei der auf der linken und rechten Seite eins der oben aufgeführten Verhältnisse steht.
Daraus ergibt sich:

$ \frac{\left|\overline{\color{red}ZA'}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZA}\right|} = \frac{\left|\overline{\color{red}ZB'}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZB}\right|} $ Hier das Verhältnis: Strahl 1 zu Strahl 2
$ \frac{\left|\overline{\color{red}A'B'}\right|}{\left|\overline{\color{green}AB}\right|} = \frac{\left|\overline{\color{red}ZA'}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZA}\right|} $ Hier das Verhältnis: parallele Strecken zu Strahl 1
$ \frac{\left|\overline{\color{red}ZB'}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZB}\right|} = \frac{\left|\overline{\color{red}A'B'}\right|}{\left|\overline{\color{green}AB}\right|} $ Hier das Verhältnis: parallele Strecken zu Strahl 2

PS: Die Seiten rechts und links vom = können vertauscht werden.

Aufgabe 1

Gegeben:

$\left|\overline{\color{red}ZB'}\right|=10\,cm$;
$\left|\overline{\color{green}ZB}\right|=8\,cm$;
$\left|\overline{\color{green}ZA}\right|=6\,cm$;

Gesucht:

$\left|\overline{\color{red}ZA'}\right|$

Lösung:
Wähle den Strahlensatz, in dem die gegebenen Werte vorkommen und nur der gesuchte Wert unbekannt ist.
Hier wählt man also das Verhältnis von den beiden Strahlen zueinander.

$\begin{array}{crcll} &\dfrac{\left|\overline{\color{red}ZA'}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZB'}\right|} &=& \dfrac{\left|\overline{\color{red}ZA}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZB}\right|}\\ \Rightarrow & \dfrac{\left|\overline{\color{red}ZA'}\right|}{6\,cm}&=&\dfrac{10\,cm}{8\,cm} &\ |\;\cdot 6\,cm \\ \Leftrightarrow &\left|\overline{\color{red}ZA'}\right|&=&1{,}25\cdot 6\,cm & \\ \Leftrightarrow &\left|\overline{\color{red}ZA'}\right|&=&7{,}5\,cm & \\ \end{array} $

Aufgabe 2

Gegeben: $\left|\overline{\color{red}ZB'}\right|=10\,cm$; $\left|\overline{\color{green}ZB}\right|=8\,cm$; $\left|\overline{\color{green}ZA}\right|=6\,cm$; $\left|\overline{\color{red}A'B'}\right|=9\,cm$;

Gesucht: $\left|\overline{\color{green}AB}\right|$

Lösung:
Wähle den passenden Strahlensatz. Hier den mit dem Verhältnis von einem Strahl zu den Parallelen.
Die Angabe $\left|\overline{\color{green}ZA}\right|$ wird nicht verwendet.

$ \dfrac{\left|\overline{\color{red}A'B'}\right|}{\left|\overline{\color{green}AB}\right|} = \dfrac{\left|\overline{\color{red}ZB'}\right|}{\left|\overline{\color{green}ZB}\right|} \Leftrightarrow \dfrac{\left|\overline{\color{green}AB}\right|}{\left|\overline{\color{red}A'B'}\right|} = \dfrac{\left|\overline{\color{green}ZB}\right|}{\left|\overline{\color{red}ZB'}\right|} $

$ \begin{array}{crcll} \Rightarrow & \dfrac{\left|\overline{\color{green}AB}\right|}{9\,cm} &=& \dfrac{8\,cm}{10\,cm} & \ |\;\cdot 9\,cm\\ \Leftrightarrow & \left|\overline{\color{green}AB}\right| &=& 0{,}8\cdot 9\,cm & \\ \Leftrightarrow & \left|\overline{\color{green}AB}\right| &=& 7{,}2\,cm & \\ \end{array} $